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    已知函数f（x）=2
    		3
    sinxcosx+2cos2x+m在区间[0，
    π
    3
    ]上的最大值为2．
    （1）求常数m的值；
    （2）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC面积为
    9
    		3
    4
    ，求边长a．
    考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用
    专题：计算题,三角函数的图像与性质
    分析：（1）先化简得f（x）=2sin（2x+
    π
    6
    ）+m+1，由x的范围可求得函数最大值，令其等于2可求m；
    （2）由f（A）=1可求A，由sinB=3sinC得b=3c，①由△ABC面积为
    9
    		3
    4
    ，得bc=9，②联立可求；
    解答： 解：（1）f（x）=2
    		3
    sinxcosx+2cos2x+m=2sin（2x+
    π
    6
    ）+m+1，
    ∵x∈[0，
    π
    3
    ]，∴2x+
    π
    6
    ∈[
    π
    6
    ，
    5π
    6
    ]，
    ∴当2x+
    π
    6
    =
    π
    2
    即x=
    π
    6
    时，函数f（x）在区间[0，
    π
    3
    ]上取到最大值，
    此时，f(x)max=f(
    π
    6
    )    =m+3=2，解得m=-1；
    （2）∵f（A）=1，
    ∴2sin（2A+
    π
    6
    ）=1，即sin（2A+
    π
    6
    ）=
    1
    2
    ，解得A=0（舍去）或A=
    π
    3
    ，
    ∵sinB=3sinC，
    a
    sinA
    =
    b
    sinB
    =
    c
    sinC
    ，
    ∴b=3c，①
    ∵△ABC面积为
    9
    		3
    4
    ，
    ∴S=
    1
    2
    bcsinA    =
    1
    2
    bc•
    		3
    2
    =
    9
    		3
    4
    ，即bc=9，②
    由①②解得b=3
    		3
    ，c=
    		3
    ，
    ∵a2=b2+c2-2bccosA=21，
    ∴a=
    		21
    ．
    点评：该题考查三角恒等变换、正弦定理及其应用，考查学生的运算求解能力，属中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知在△ABC中，AB=3，∠A=60°，∠A的平分线AD交边BC于点D，且
    AD
    =λ
    AC
    +
    1
    6
    AB
    （λ∈R），则AD的长为（　　）
    A、
    		3
    2
    B、
    		3
    C、1
    D、2

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=lnx+
    1
    x
    -1；
    （1）求函数f（x）的单调区间及最值；
    （2）证明：对任意的正整数n，1+
    1
    2
    +
    1
    3
    +…+
    1
    n
    ≥ln
    en
    n!
    都成立．
    （3）是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C：y2=4x焦点为F，过F的直线交抛物线C于A，B两点，l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点．
    （1）求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；
    （2）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，△PCD面积为S1，△PAB面积为S2，求
    S1
    S2
    的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=2，cos（A+B）=
    1
    4
    ，则c的值为
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，设平面向量
    a
    =（cosA，sinA），
    b
    =（
    		3
    2
    ，
    1
    2
    ），函数f（A）=
    a
    •
    b
    +1，
    （Ⅰ）求函数f（A）的值域和单调递增区间；
    （Ⅱ）当f（A）=
    9
    5
    ，且
    π
    6
    ＜A＜
    2π
    3
    时，求sinA的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}的前n项和为Sn，且满足2an-Sn=1，n∈N*．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）在数列{an}的每相邻两项an和an+1之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，记其公差为dn；例如：在a1和a2之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为d1；在a2和a3之间插入2个数，使这4个数成等差数列，记公差为d2；…以此类推
    （i）求出dn的表达式（用n表示）
    （ii）按照以上规则插入数后，依次排列构成新的数列{bn}，求b2014的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在正数数列{an}（n∈N*）中，Sn为{an}的前n项和，若点（an，Sn）在函数y=
    c2-x
    c-1
    的图象上，其中c为正常数，且c≠1．
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a1•a3•a5…a2n-1＞a101恒成立？若存在，求出使结论成立的c的取值范围和相应的M的最小值．
    （Ⅲ）若存在一个等差数列{bn}，对任意n∈N*，都有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bn-1a2+bna1=3n-
    5
    3
    n-1    成立，求{bn}的通项公式及c的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若正数a，b满足a+b=1，则
    1
    3a+2
    +
    1
    3b+2
    的最小值为
     
    ．

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