Question

已知函数f（x）=lnx+

1

x

-1；
（1）求函数f（x）的单调区间及最值；
（2）证明：对任意的正整数n，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln

en

n!

都成立．
（3）是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

x-1

x2

，由此能求出函数f（x）的单调区间及最值．
（Ⅱ）由（1）知f(x)=lnx-

x-1

x

≥f(1)=0，所以

1

x

≥1-lnx=ln

e

x

，取x=1，2，3，…，n，对得到的各式迭加能够证明对任意的正整数n，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln

en

n!

都成立．
（Ⅲ）假设存在这样的切线，设其中一个切点T(x0，lnx0-

x0-1

x0

)，切线方程：y+1=

x0-1

x02

(x-1)，由此利用导数性质推导出符合条件的切线有且仅有一条．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=lnx+

1

x

-1，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

x-1

x2

．…（2分）
由f′（x）=0，得x=1．x∈（0，1）时，f′（x）0．
∴函数在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，…（4分）
∴f_min（x）=f（1）=ln1=0，无最大值． …（5分）
（Ⅱ）证明：由（1）知f(x)=lnx-

x-1

x

≥f(1)=0，故

1

x

≥1-lnx=ln

e

x

，…（7分）
取x=1，2，3，…，n，得：
1≥lne，

1

2

≥ln

e

2

，

1

3

≥ln

e

3

，…，

1

n

≥ln

e

n

，
由上式迭加得：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln

en

n!

．
∴对任意的正整数n，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln

en

n!

都成立．…（9分）
（Ⅲ）解：假设存在这样的切线，设其中一个切点T(x0，lnx0-

x0-1

x0

)，
切线方程：y+1=

x0-1

x02

(x-1)，…（10分）
将点T坐标代入得：lnx0-

x0-1

x0

+1=

(x0-1)2

x02

，即lnx0+

3

x0

-

1

x02

-1=0，①
设g(x)=lnx+

3

x

-

1

x2

-1，则g′(x)=

(x-1)(x-2)

x3

． …（11分）
∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，
故g(x)极大值=g(1)=1＞0，g(x)极小值=g(2)=ln2+

1

4

＞0．…（12分）
又g(

1

4

)=ln

1

4

+12-16-1=-ln4-3＜0，…（13分）
注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在(

1

4

，1)内有且仅有一根
所以方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．…（14分）

点评：本题考查函数单调区间和最值的求法，考查不等式的证明，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．