Question

无穷数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5…的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推．记该数列为{a_n}，若a_n-1=7，a_n=8，则n=______．

Answer 1

∵一个数列{1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…}，
它的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，
…，
依此类推，对任意的正整数k，该数列中恰有k个k，
则当n=7，
1+2+3+…+n=

n(1+n)

2

=

7(1+7)

2

=28，
∴a₂₈=7，a₂₉=a₃₀=…=8，
若a_n-1=7，a_n=8，则n=29．
故答案为：29．