Question

如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．

（Ⅰ）若BD=1，求三棱锥A-BCD的体积；
（Ⅱ）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（Ⅲ）设E为BC的中点，求AE与DB所成的角的余弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）根据几何体的体积公式，结合几何体的性质求解，
（2）运用判断定理证明，找线线位置关系．
（3）运用向量的坐标，结合向量的数量积与夹角的关系求解．

解答： 解（Ⅰ）BD=1，
根据图形可得：AD=

3

，AB=2，BC=4，DC=3
∴三棱锥A-BCD的体积为

1

3

×

1

2

×1×3×

3

=

3

2

，
∴得体积为

3

2

，
（Ⅱ）∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC，
∵AD?平面BDC．
∴平面ABD⊥平面BDC，
（Ⅲ）由∠BDC=90°及（Ⅰ）知DA，DB，DC两两垂直，
不妨设|BD|=1，
以D为坐标原点，以

DB

，

DC

，

DA

所在直线x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

易得D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，3，0），A（0，0，

3

），E（

1

2

，

3

2

，0），
∴

AE

=（

1

2

，

3

2

，-

3

），

BD

=（1，0，0，），
∴

AE

与

DB

夹角的余弦值为

AE • DB

| AE || DB |

=

1 2

1× 22 4

=

22

22

，
故AE与DB所成的角的余弦值

22

22

点评：本题考查了立体几何，空间向量与坐标系的关系，运用向量的知识判断垂直，求夹角；属于难题．