Question

已知函数f（x）=ax³+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2，则过点（2，2）能作几条直线与曲线y=f（x）相切？（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：先求函数f（x）的解析式，只须求出切线斜率的值，f（1），列出方程组即可；设过点（2，2）的直线与曲线y=f（x）相切于点（t，f（t）），可得切线方程为y=（3t²-1）x-2t³，由切线过点（2，2）得：t³-3t²+2=0，从而问题转化为方程t³-3t²+2=0的实根个数，利用导数法可求．

解答： 解：f（x）的导数f′（x）=3ax²+b，
由于y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2，
则

f′(1)=2 f(1)=2-2=0

，即

3a+b=2 a+b=0

，解得

a=1 b=-1

，
即有f（x）=x³-x，
设过点（2，2）的直线与曲线y=f（x）相切于点（t，f（t）），
则切线方程为：y-f（t）=f′（t）（x-t），
即y=（3t²-1）x-2t³
由切线过点（2，2）得：2=（3t²-1）•2-2t³，
过点（2，2）可作曲线y=f（x）的切线条数就是方程t³-3t²+2=0的实根个数，
令g（t）=t³-3t²+2，则g′（t）=3t（t-2）
由g′（t）=0得t₁=0，t₂=2
当t变化时，g（t）、g′（t）的变化如下表

t	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	↗	极大值2	↘	极小值-2	↗

由g（0）•g（2）=-4＜0知，故g（t）=0有三个不同实根可作三条切线．
故选D．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．