Question

已知数列{a_n}首项a₁=1公差d＞0，且其第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b_n}的第2，3，4项，
（1）求{a_n}{b_n}的通项公式．
（2）设数列{c_n}对任意自然数n均有成立求c₁+c₂+…+c₂₀₀₇的值．

Answer 1

解：（1）设等差数列第二，五，十四项分别是a₁+d，a₁+4d，a₁+13d，
∵分别是等比数列{b_n}的第2，3，4项
∴（a₁+4d）²=（a₁+d）（a₁+13d），
解得d=2，a₁=1，
所以a_n=2n-1，
b_n=3^n-1
（2）（n≥2）
又∵
∴，
c_n=2•3^n-1 （n≥2）
当n=1时，，
所以c₁=a₂b₁=3
c₁+c₂+…+c₂₀₀₇=3²⁰⁰⁷．
分析：（1）利用等差数列的通项公式写出题中的三项，列出方程，求出首项与公差，求出通项公式；
（2）令已知条件中的等式中的n用n-1代替仿写出另一个等式，两个式子相减得到数列{c_n}的通项，判断出其为等比数列，利用等比数列的前n项和求出c₁+c₂+…+c₂₀₀₇．
点评：求等差数列与等比数列的通项利用的方法是基本量法：由已知条件求出首项与公差或公比．