Question

如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点是F（1，0），0为坐标原点．
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）点M是直线l：x=4上的动点，以OM为直径的圆过点N，且NF⊥OM，是否存在一个定点，使得N到该定点的距离为定值？并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，得到椭圆短轴的三分之一的值，由此列式可以得到椭圆的半短轴的长，结合a²=b²+c²可以得到a²的值，所以椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出N的坐标，求出NF所在直线的斜率，由NF⊥OM得到OM所在直线的斜率，写出OM所在直线方程后得到M点的坐标，求出ON和MN的斜率，由以OM为直径的圆过点N，得到ON和MN所在直线的斜率之积等于-1，列式整理后即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）因为椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，且c=1，
所以

2 3

3

=

1

3

×2b，解得b=

3

．
∴a²=b²+c²=4．
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）存在定点O（原点），使得N到该定点的距离为定值，如图，
设N（x₀，y₀），则直线NF的斜率为kNF=

y0

x0-1

，
直线ON的斜率为kON=

y0

x0

∵NF⊥OM，∴直线OM的斜率为kOM=-

x0-1

y0

，
∴直线OM的方程为y=-

x0-1

y0

x，点M的坐标为M(4，-

4(x0-1)

y0

)．
∴直线MN的斜率为kMN=

y0+ 4(x0-1) y0

x0-4

．
∵ON⊥MN，∴k_MN•k_ON=-1，∴

y0+ 4(x0-1) y0

x0-4

•

y0

x0

=-1，
整理得x02+y02=4．
∴存在定点O（原点），使得N到该定点的距离为定值，且该定值为2．

点评：本题考查了椭圆的标准方程和简单几何性质，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．