Question

10．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD．且PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，请用学习的有关向量的知识求出PB与CD所成的角．

Answer 1

分析 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PB与CD所成的角的大小．

解答 解：∵四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD．且PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得B（1，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0），
设PB与CD所成的角为θ，
则cosθ=|$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{CD}|}$|=|$\frac{-1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°．
∴PB与CD所成的角为60°．

点评 本题考查两异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．