Question

某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产一百台，需要新增加投入2.5万元．经调查，市场一年对此产品的需求量为500台；销售收入为R（t）=6t﹣t²（万元），（0＜t≤5），其中t是产品售出的数量（单位：百台）．（说明：①利润=销售收入﹣成本；②产量高于500台时，会产生库存，库存产品不计于年利润．）
（1）把年利润y表示为年产量x（x＞0）的函数；
（2）当年产量为多少时，工厂所获得年利润最大？

Answer 1

解：（1）当0＜x≤5时，f（x）=6x﹣x²﹣0.5﹣2.5x=﹣x²+3.5x﹣0.5 ，
当x＞5时，f（x）=6×5﹣×5²﹣0.5﹣2.5x=17﹣2.5x ，
即f（x）= 。
（2）当0＜x≤5时，f（x）=﹣（x²﹣7x+1）=﹣（x﹣）²+ ，
 ∴当x=3.5∈（0，5]时，f（x）max==5.625 。
当x＞5时，f（x）为（5，+∞）上的减函数，
f（x）＜f（5）=17﹣2.5×5=4.5，又5.625＞4.5 ，，
∴f（x）max=f（3.5）=5.625 。
故当年产量为350台时，工厂所获年利润最大。