已知函数
（1）若方程
内有两个不等的实根，求实数m的取值范围；（e为自然对数的底数）
（2）如果函数
的图象与x轴交于两点
、
且
.求证：
（其中正常数
）.
（1）
（2）
【解析】
试题分析：（1）方程
内有两个不等的实根，可转化为函数
的图象与
有两个不同的交点，可以利用导数研究函数在
上的单调性与极值并结合边界值来确定实数m的取值范围；
（2）由函数
的图象与x轴交于两点
、
知方程
有两根
因为
,
所以
只需证明：
在
上恒成立即可.
试题解析：（1）由，
求导数得到：
，故
在
有唯一的极值点
，且知
故
上有两个不等实根需满足：
故所求m的取值范围为. （6分）
（2）
又
有两个实根
则
两式相减得到：
于是
，故
要证：
，只需证：
只需证：
令
，则
只需证明：在上恒成立.
又
则
于是由
可知
.故知
上为增函数，则
从而可知
，即（*）式成立，从而原不等式得证. （14分）
考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、等价转化与数形结合的思想.
科目：高中数学 来源：2013-2014学年安徽省“江淮十校协作体”四月联考卷理科数学试卷（解析版） 题型：解答题
前不久，社科院发布了2013年度“全国城市居民幸福排行榜”，北京市成为本年度最“幸福城”.随后，某师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后一位为叶）：
指出这组数据的众数和中位数；
若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）人选3人，记
表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望.
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科目：高中数学 来源：2013-2014学年安徽省“江南十校”高三第二次模拟考试文科数学试卷（解析版） 题型：选择题
执行如图所示的程序框图，输出的
是（ ）
A.9 B.10 C.-9 D.-10
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科目：高中数学 来源：2013-2014学年天津市蓟县高三第一次模拟考试理科数学试卷（解析版） 题型：选择题
已知函数
的定义域为
，当
时，
，且对任意的
，等式
成立，若数列
满足
，且
则
的值为( )
A．4016 B．4017 C．4018 D．4019
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科目：高中数学 来源：2013-2014学年天津市蓟县高三第一次模拟考试文科数学试卷（解析版） 题型：填空题
已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 
.
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是椭圆
的下焦点，
为坐标原点，点
在椭圆上，则
的最大值为
.
是
上的奇函数，若
，且
，则
.
的值域为 .
中，
分别是角A、B、C的对边， 
，且
．
的值域．