Question

8．设a，b∈R，函数f（x）=ax+$\frac{1}{x}$．g（x）=x²+b，
（1）若a=-3，b=0，求函数h（x）=f（x）•g（x）在区间（0，1]上的最值；
（2）若函数m（x）=f（x）+g（x）在区间（0，1]上单调递减，求实数a的最大值；
（3）若对任意实数a∈（-∞，-1），关于x的方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a，b的值代入h（x），求出h（x）的导数，从而求出h（x）的最值；
（2）问题转化为a≤$\frac{1}{{x}^{2}}$-2x，在x∈（0，1]时恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（3）问题转化为a＜-1时，只需y=ax-b与函数F（x）=x²-$\frac{1}{x}$的图象都有3个交点，结合函数的单调性以及函数的图象判断即可．

解答 解：（1）a=-3，b=0时，h（x）=-3x³+x（x≠0），
∴h′（x）=-9x²+1，
由h′（x）≤0得：x≤-$\frac{1}{3}$或x≥$\frac{1}{3}$，
由h′（x）≥0得-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{3}$]递增，在[$\frac{1}{3}$，1）递减，
又x→0时，h（x）→0，h（$\frac{1}{3}$）=$\frac{2}{9}$，h（1）=-2，
∴h（x）在（0，1]上的最大值是h（$\frac{1}{3}$）=$\frac{2}{9}$，
在（0，1]上的最小值是h（1）=-2；
（2）m（x）=ax+$\frac{1}{x}$+x²+b，m′（x）=a-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2x，
由题意x∈（0，1]时，m′（x）≤0恒成立，
即a≤$\frac{1}{{x}^{2}}$-2x，在x∈（0，1]时恒成立，
又$\frac{1}{{x}^{2}}$-2x在x∈（0，1]递减，
∴$\frac{1}{{x}^{2}}$-2x在（0，1]上的最小值是-1，
∴a≤-1，即a的最大值是-1；
（3）原问题转化为：若对任意实数a∈（-∞，-1），关于x的方程x²-$\frac{1}{x}$=ax-b有三个不同的解，求b的范围，
即a＜-1时，只需y=ax-b与函数F（x）=x²-$\frac{1}{x}$的图象都有3个交点，
∵F′（x）=2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{3}+1}{{x}^{2}}$，
由F′（x）＞0，得x＞-$\root{3}{\frac{1}{2}}$且x≠0，
由F′（x）＜0，解得：x＜-$\root{3}{\frac{1}{2}}$，
∴F（x）在（-∞，-$\root{3}{\frac{1}{2}}$）递减，在（-$\root{3}{\frac{1}{2}}$，0），（0，+∞）递增，
如图示：
，
a＜-1时，只需y=ax-b与函数F（x）（x＞0）有1个交点，
∴直线y=ax-b和F（x）（x＜0）有2个交点，
a=-1时，F′（x）=2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{3}+1}{{x}^{2}}$=-1，解得：x=-1，
此时，切线方程是y=-x+1，
即当b=-1，a=-1时，直线y=ax-b和F（x）=x²-$\frac{1}{x}$（x＜0）的图象相切，
∴当-b≥1时，即b≤-1时，
∴当-b≥1即b≤-1时，
对任意a∈（-∞，-1），直线y=ax-b与函数F（x）的图象恒有3个交点，
若对任意实数a∈（-∞，-1），关于x的方程f（x）=g（x）有三个不同的解．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查数形结合思想，是一道综合题．