Question

设是抛物线上相异两点，到y轴的距离的积为且．

（1）求该抛物线的标准方程.

（2）过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与轴交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）.（2）直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值.

【解析】

试题分析：（1）确定抛物线的标准方程，关键是确定的值.利用，可得，

再根据P、Q在抛物线上，得到，集合已知条件^，得4p²＝4，p=1．

（2）设直线PQ过点，且方程为，应用联立方程组

消去x得y² 2my 2a＝0，利用韦达定理，建立的方程组，确定得到，利用“弦长公式”求解.

试题解析： （1）∵　·＝0，则x₁x₂＋y₁y₂＝0，             1分

又P、Q在抛物线上，故y₁²＝2px₁，y₂²＝2px₂，故得

 ＋y₁y₂＝0， y₁y₂＝ 4p²

             3分

又|x₁x₂|＝4，故得4p²＝4，p=1．

所以抛物线的方程为:       5分

（2）设直线PQ过点E(a,0）且方程为x＝my＋a

联立方程组

消去x得y² 2my 2a＝0

∴　      ①　                7分

设直线PR与x轴交于点M(b,0)，则可设直线PR方程为x＝ny＋b,并设R(x₃,y₃)，

同理可知   ②　　             9分

由①、②可得 

由题意，Q为线段RT的中点，∴　y₃＝2y₂，∴b=2a

又由（Ⅰ）知， y₁y₂＝ 4，代入①，可得

 2a＝ 4 　　∴　　a＝2．故b＝4．           11分

∴

∴.

当n=0，即直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值          14分

考点：抛物线标准方程，直线与抛物线的位置关系.