Question

已知过抛物线y²=8x的焦点F的弦AB的中点M，求M到x+2y+4=0的最短距离．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求M点的轨迹方程，也是抛物线，再平移直线x+2y+4=0与M的轨迹方程相切，切点到直线x+2y+4=0的距离即为所求．

解答： 解：设过抛物线y²=8x的焦点F（2，0）的弦AB的方程为x-2=my，
则x=my+2，代入y²=8x得：y²-8my-16=0，
故弦AB的中点M的综坐标为：

1

2

×8m=4m，
代入x=my+2得x=4m²+2，
∴故弦AB的中点M的坐标为：（4m²+2，4m），
故弦AB的中点M的轨迹方程为：y²=4（x-2），
令x+2y+c=0与y²=4（x-2）相切，
则y²=-4（2y+c+2），即y²+8y+4c+8=0的△=64-16c-32=0，
解得c=2，
联立

x+2y+2=0 y2=4(x-2)

得：

x=6 y=-4

由（6，-4）到x+2y+4=0的距离d=

|6-4×2+4|

12+22

=

2 5

5

，
可得M到x+2y+4=0的最短距离为

2 5

5

．

点评：本题考查的知识点是抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，点到直线的距离，难度中档．