Question

设0＜θ＜

π

2

，曲线x²sinθ+y²cosθ=1和x²cosθ-y²sinθ=1有4个不同的交点．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．

Answer 1

（I）两曲线的交点坐标（x，y）满足方程组

x2sinθ+y2cosθ=1 x2cosθ-y2sinθ=1

即

x2=sinθ+cosθ y2=cosθ-sinθ.

有4个不同交点等价于x²＞0，且y²＞0，即

sinθ+cosθ＞0 cosθ-sinθ＞0.

又因为0＜θ＜

π

2

，所以得θ的取值范围为（0，

π

4

)．
（II）证明：由（I）的推理知4个交点的坐标（x，y）满足方程x2+y2=2cosθ(0＜θ＜

π

4

)，
即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为r=

2cosθ

(0＜θ＜

π

4

)．
因为cosθ在(0，

π

4

)上是减函数，所以由cos0=1，cos

π

4

=

2

2

，
知r的取值范围是(

4	2

，

2

)．