Question

设函数f（x）=a-
（1）求证：f（x）是增函数；
（2）求a的值，使f（x）为奇函数；
（3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

Answer 1

（1）证明：任取x₁，x₂∈R，且x_1＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=a--a+=（2分）
∵y=2^x在（-∞，+∞）上递增，而x₁＜x₂∴＜∴-＜0（4分）
又（+1）（+1）＞0∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数（6分）

（2）解：f（x）为奇函数，f（0）=a-=a-1=0∴a=1
经检验，a=1时f（x）是奇函数（10分）
（3）由（2）知，f（x）=1-
∵2^x+1＞1∴0＜＜1∴f（x）∈（-1，1）（14分）
分析：（1）单调性的证明，要设出单调区间上的自变量x_1＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）在进行化简，分解成因式的积或商的形式，来判断符号，
（2）要充分利用函数的奇偶性的概念，对于奇函数有一个结论：奇函数在x=0处有定义，则有f（0）=0，本题可以充分利用这一点来求参数a的值．
（3）可有（2）的结论求出f（x）的解析式后，求函数的值域．
点评：本题考查了函数的单调性，奇偶性的概念及其判断、证明，函数的值域的求法．对于利用定义来证明函数的单调性要注意做差后对式子f（x₁）-f（x₂）的化简，利用符号法则来判断其符号．