Question

如图,椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A，B,右焦点为F,且.

(I) 求椭圆的标准方程；

(II)过椭圆的右焦点F作直线，直线l₁与椭圆分别交于点M,N，直线l₂与椭圆分别交于点P,Q,且，求四边形MPNQ的面积S的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）设椭圆的方程为,则由题意知,

又∵即∴,

故椭圆的方程为:……………………………………………….2分

(Ⅱ)设.

则由题意, ,

即  

整理得,

即

所以………………………………………………………………6分

(注: 证明,用几何法同样得分)

①若直线中有一条斜率不存在,不妨设的斜率不存在,则可得轴,

∴  ,

故四边形的面积…….…….…….7分

②若直线的斜率存在,设直线的方程: ,则

由得,

设,则

…………….9分

同理可求得，………………………….10分

故四边形的面积:

取“=”,

综上，四边形的面积的最小值为

【解析】略