Question

15．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是以A为直角的等腰直角三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（1）求证AF∥平面BCE；
（2）设AB=2，求四棱锥C-ABED的体积．

Answer 1

分析 （1）取CE的中点M，连接BM，FM，可证明四边形ABMF是平行四边形得出AF∥BM，得出AF∥平面BCE；
（2）证明AC⊥平面ABED，代入棱锥的体积公式计算．

解答 解：（1）取CE的中点M，连接BM，FM，
∵F，M分别是CD，CE的中点，
∴FM∥DE，FM=$\frac{1}{2}$DE，
又AB∥DE，AB=$\frac{1}{2}$DE，
∴AB∥FM，AB=FM，
∴四边形ABMF是平行四边形，
∴AF∥BM，又AF?平面BCE，BM?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（2）∵AB⊥平面ACD，AC?平面ACD，
∴AC⊥AB，
又AC⊥AD，AB?平面ABED，AD?平面ABED，AB∩AD=A，
∴AC⊥平面ABED．
∵AB=2，∴AC=AD=DE=4，
∴V_C-ABED=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABED}•AC$=$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}$×（2+4）×4×4=16．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．