Question

已知点O是△ABC内的一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，|

a

|=2，|

b

|=1，|

c

|=3．
（1）设实数t满足（

AB

-t

OC

）•

OC

=0，求t的值；
（2）试用

a

，

b

表示

c

．

Answer 1

分析：（1）由（

AB

-t

OC

）•

OC

=0，可得（

OB

-

OA

-t

OC

）•

OC

=0，利用向量的数量积运算，可得结论；
（2）设

c

=m

a

+n

b

，则

c

•

c

=m

a

•

c

+n

b

•

c

，

c

•

b

=m

a

•

b

+n

b

2，从而可得方程组，即可得出结论．

解答：解：（1）∵（

AB

-t

OC

）•

OC

=0，
∴（

OB

-

OA

-t

OC

）•

OC

=0
∵∠AOB=150°，∠BOC=90°
∴∠AOC=120°，
∵

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，|

a

|=2，|

b

|=1，|

c

|=3
∴-3-9t=0
∴t=

1

3

；
（2）设

c

=m

a

+n

b

，则

c

•

c

=m

a

•

c

+n

b

•

c

，

c

•

b

=m

a

•

b

+n

b

2
∴

9=-3m 0=m•1•2•(- 3 2 )+n

∴m=-3，n=3

3

∴

c

=-3

a

+3

3

b

．

点评：本题考查向量的数量积运算，考查方程组思想，考查学生的计算能力，属于中档题．