Question

设a＞0,函数f(x)=,b为常数.
（1）证明：函数f(x)的极大值点和极小值点各有一个；
（2）若函数f(x）的极大值为1，极小值为-1，试求a的值.

Answer 1

（1）证明见解析（2）a=2

（1）f′(x)=,
令f′(x)=0,得ax²+2bx-a="0                             " (*)
∵Δ=4b²+4a²＞0,
∴方程（*)有两个不相等的实根，记为x₁,x₂(x₁＜x₂),
则f′(x)=,
当x变化时，f′(x）与f(x）的变化情况如下表：

x	(-∞,x1)	x1	(x1 ,x2)	x2	(x2 ,+ ∞)
	-	0	+	0	-
f (x)		极小植		极大值

?可见，f(x)的极大值点和极小值点各有一个.
（2） 由（1）得
即
两式相加，得a(x₁+x₂)+2b=x-x.
∵x₁+x₂=-,∴x-x=0,
即(x₂+x₁)(x₂-x₁)=0,
又x₁＜x₂,∴x₁+x₂=0,从而b=0,
∴a（x²-1）=0，得x₁=-1,x₂=1,
由②得a=2.