Question

已知u_n=aⁿ+a^n-1b+a^n-2b²+…+ab^n-1+bⁿ（n∈N^*，a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）当a=b时，求数列{u_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）求

lim

n→∞

un

un-1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=b时，求出u_n=（n+1）aⁿ．再应用数列的前n项和错位相减，求数列{u_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）求出

un

un-1

的表达式，对a，b的大小分类讨论，求出数列的极限．

解答：解：（Ⅰ）当a=b时，u_n=（n+1）aⁿ．这时数列{u_n}的前n项和S_n=2a+3a²+4a³++na^n-1+（n+1）aⁿ． ①
①式两边同乘以a，得aS_n=2a²+3a³+4a⁴++naⁿ+（n+1）aⁿ⁺¹②
①式减去②式，得（1-a）S_n=2a+a²+a³++aⁿ-（n+1）aⁿ⁺¹
若a≠1，（1-a）S_n=

a(1-an)

1-a

-（n+1）aⁿ⁺¹+a，
S_n=

a(1-an)

(1-a)2

+

a-(n+1)an+1

1-a

=

(n+1)an+2-(n+2)an+1-a2+2a

(1-a)2

若a=1，S_n=2+3++n+（n+1）=

n(n+3)

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ），当a=b时，u_n=（n+1）aⁿ，
则

lim

n→∞

un

un-1

=

lim

n→∞

(n+1)an

nan-1

=

lim

n→∞

a(n+1)

n

=a．
当a≠b时，u_n=aⁿ+a^n-1b++ab^n-1+bⁿ=aⁿ[1+

b

a

+(

b

a

)2+(

b

a

)n]=an

1-( b a )n+1

1- b a

=

1

a-b

（aⁿ⁺¹-bⁿ⁺¹）
此时，

un

un-1

=

an+1-bn+1

an-bn

．
若a＞b＞0，

lim

n→∞

un

un-1

=

lim

n→∞

an+1-bn+1

an-bn

=

lim

n→∞

a-b( b a )n

1-( b a )n

=a．
若b＞a＞0，

lim

n→∞

un

un-1

=

lim

n→∞

a( a b )n-b

( a b )n-1

=b．

点评：本题是中档题，考查数列求和的重要方法：错位相减法，分类讨论的思想，极限的求法，高考常考题型．