Question

某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q（单位：件）与零售价P（单位：元）有如下关系：Q=8300-170P-P²．问该商品零售价定为

30

元时毛利润最大（毛利润=销售收入-进货支出）．

Answer 1

分析：毛利润等于销售额减去成本，可建立函数关系式，利用导数可求函数的极值点，利用极值就是最值，可得结论．

解答：解：由题意知：毛利润等于销售额减去成本，即
L（p）=pQ-20Q=Q（p-20）=（8300-170p-p²）（p-20）
=-p³-150p²+11700p-16600，
所以L′（p）=-3p²-300p+11700．
令L′（p）=0，解得p=30或p--130（舍去）．
此时，L（30）=23000．
因为在p=30附近的左侧L′（p）＞0，右侧L′（p）＜0．
所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30）是最大值，
故答案为：30

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查利用导数求函数的最值，由于函数为单峰函数，故极值就为函数的最值．