Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等腰直角三角形，斜边AB=

2

a，侧棱AA₁=2a，点D是AA₁的中点，那么截面DBC与底面ABC所成二面角的大小是（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．以上答案都不对

Answer 1

分析：根据直三棱柱的结构特征，得知侧面A₁C₁CA⊥底面ABC．由于底面ABC是等腰直角三角形，所以BC⊥AC，所以BC⊥侧面A₁C₁CA，BC⊥DC，所以∠DCA为截面DBC与底面ABC所成二面角的平面角．在RT△DAC中求解即可．

解答：解：三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以侧棱和底面垂直，从而侧面和底面垂直，所以侧面A₁C₁CA⊥底面ABC．
侧面A₁C₁CA∩底面ABC=AC．由于底面ABC是等腰直角三角形，所以BC⊥AC，根据平面和平面垂直的性质定理得
BC⊥侧面A₁C₁CA，BC⊥DC，所以∠DCA为截面DBC与底面ABC所成二面角的平面角．
在RT△DAC中，DA=a，AC=a，所以∠DCA=45°．
故选：B．

点评：本题考查二面角求解，关键是找出或作出二面角的平面角，将空间问题转化为平面问题．