Question

如图（1），在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠C=90°，CD=2AB=2，∠D=60°，E为DC中点，将四边形ABCE绕直线AE旋转90°得到四边形AB′C′E，
如图（2）．
（I）求证：EA⊥B′B；
（II）线段B′C′上是否存在点M，使得EM∥平面DB′B，若存在，确定点M的位 置；若不存在，请说明理由；
（III）求平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）通过证明EA⊥平面ABB′，然后证明EA⊥B′B；
（II）存在．当M为B′C′的中点时，EM∥平面DB′B．利用直线与平面平行的判定定理证明即可；
（III）通过建立空间直角坐标系，求出平面CB′D与平面BB′A的法向量，利用斜率的数量积求出两个平面所成的锐二面角的大小．
解答：解：（Ⅰ）证明：∵CD=CD=2AB=2，∴CE=AB，又AB∥CD，且∠C=90°，∴四边形ABCD为矩形．∴AB⊥EA，EA⊥AB′，又AB∩B′=A，∴EA⊥平面ABB′，
∵BB′?平面ABB′，∴EA⊥B′B；
（Ⅱ）解：存在．当M为B′C′的中点时，EM∥平面DB′B．理由如下：设AE与BD交于N，连结B′N．
∵AB∥DE且AB=DE，
∴四边形ABED为平行四边形，∴N为AE的中点．
∵M为B′C′中点，四边形AB′C′E为矩形，∴MB′∥EN，MB′=EN．
∴四边形MB′NE为平行四边形，∴EM∥B′N，
又∵EM?平面DBB′，B′N?平面DBB′，
∴EM∥平面DB′B．
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知DH⊥底面AB′C′E⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，E-xyz，如图所示
则D（1，0，0），B′0，，1），E（0，0，0），C（-1，0，0）
所以=（-1，，1），=（-2，0，0）
设面DCB′的法向量为=（x，y，z），则，⇒
不妨设=（0，1，）…（10分）
设面AB′B的法向量=（0，1，0），
所以cos==
所以平面CB′D与平面BB′A所成的锐二面角的大小为60°…（12分）．
点评：本题考查直线与平面的垂直与平行的判定定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．