Question

（2013•虹口区二模）已知函数f(x)=

x2+(a-1)x-2a+2

2x2+ax-2a

的定义域是使得解析式有意义的x的集合，如果对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则实数a的取值范围是

-7＜a≤0或a=2

．

Answer 1

分析：题目给出的函数是分式函数，且分子分母均为二次三项式，对应的函数均开口向上，所以分分子分母对应的方程同解和不同解讨论，同解时利用系数相等求a的值，不同解时，若a≠0，则需分子分母对应的方程均无解，a=0时，在定义域内函数值恒大于0．

解答：解：给出的函数分子分母都是二次三项式，对应的图象都是开口向上的抛物线，若分子分母对应的方程是同解方程，
则

a-1= a 2 -a=-2a+2

，解得a=2．此时函数的值为f（x）=

1

2

＞0．
若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则需要分子分母的判别式均小于0，即

(a-1)2-4(2-2a)＜0① a2-4×2×(-2a)＜0②

，
解①得-7＜a＜1．
解②得-16＜a＜0．
所以a的范围是-7＜a＜0．
当a=0时，函数化为f（x）=

x2-x+2

2x2

，函数定义域为{x|x≠0}，分母恒大于0，分子的判别式小于0，分子恒大于0，函数值恒正．
综上，对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则实数a的取值范围是-7＜a≤0或a=2．

点评：本题考查了利用函数的值的范围求解参数问题，考查了分类讨论得数学思想，解答此题的关键是分析出函数值恒正时的分子分母的取值情况，此题属中档题，容易漏掉a=0，也是易错题．