Question

（2012•河南模拟）选修4-1_：几何证明选讲
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC，AD交于点E，且CE=AB=AC，连接BD，交AC于点F．
（I ）证明：BD平分∠ABC；
（II）若AD=6，BD=8，求DF的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由CE=AC，知∠E=∠CAE，由AB=AC，知∠ABC=∠ACB．由∠DBC=∠CAE，知∠DBC=∠E=∠CAE．由能够证明BD平分∠ABC． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠CAE=∠DBC=∠ABD．由∠ADF=∠ADB，知△ADF∽△BDA，由此能求出DF的长．

解答：解：（Ⅰ）∵CE=AC，∴∠E=∠CAE，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠DBC=∠CAE，∴∠DBC=∠E=∠CAE．
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠ACB=∠E+∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∴∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠CAE=∠DBC=∠ABD．
又∵∠ADF=∠ADB，∴△ADF∽△BDA，
∴

AD

BD

=

DF

AD

，
∵AD=6，BD=8．
∴DF=

AD2

BD

=

36

8

=

9

2

．

点评：本题考查相似三角形的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．