Question

设函数f（x）=

3

sin2x+cos2x+1
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的增区间
（Ⅲ）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，求函数f（x）的最大最小值并求出相应的x的值．

Answer 1

分析：（I）利用两角和的正弦公式把函数f（x）=

3

sin2x+cos2x+1化为2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)+1=2sin(2x+

π

6

)+1，利用周期公式即可得出；
（II）利用正弦函数的单调性即可得出单调区间；
（III）由x∈[-

π

6

，

π

3

]，可得(2x+

π

6

)∈[-

π

6

，

5π

6

]，利用正弦函数的单调性即可得到-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．即可得到最值．

解答：解：（I）函数f（x）=

3

sin2x+cos2x+1
=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)+1
=2sin(2x+

π

6

)+1
∴T=

2π

2

=π，
∴函数f（x）的最小正周期为π；
（II）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，
解得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
∴函数f（x）的增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）．
（III）由x∈[-

π

6

，

π

3

]，可得(2x+

π

6

)∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．
当且仅当2x+

π

6

=-

π

6

，即x=-

π

6

，ymin=2×(-

1

2

)+1=0；
当且仅当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

，y_max=2×1+1=3．

点评：熟练掌握三角函数的图象与性质、两角和的正弦余弦公式是解题的关键．