Question

已知b、c是实数，函数f（x）=x²+bx+c对任意α、β∈R有f（sinα）≥0且f（2+cosβ）≤0．
（1）求f（1）的值；
（2）证明：c≥3．

Answer 1

分析：（1）利用正弦、余弦函数的值域，结合对任意α、β∈R有f（sinα）≥0且f（2+cosβ）≤0，即可求f（1）的值；
（2）确定f（3）≤0，代入，即可证明结论．

解答：（1）解：对任意α，β∈R，有-1≤sinα≤1，1≤2+cosβ≤3．
因为f（sinα）≥0且f（2+cosβ）≤0，
所以f（1）≥0且f（1）≤0，
所以，f（1）=0．  …（2分）
（2）证明：因为f（1）=0，所以1+b+c=0，即b=-1-c．
因为1≤2+cosβ≤3，f（2+cosβ）≤0，
所以f（3）≤0．
即3²+3b+c≤0，有9+3（-l-c）+c≤0，
所以，c≥3．  …（4分）

点评：本题考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确利用正弦、余弦函数的值域是关键．