Question

已知二次函数f（x）=x²-2mx+1，若对于[0，1]上的任意三个实数a，b，c，函数值f（a），f（b），f（c）都能构成一个三角形的三边长，则满足条件的m的值可以是

（0＜m＜

2

2

内的任一实数）

．（写出一个即可）

Answer 1

分析：根据对于[0，1]上的任意三个实数a，b，c，函数值f（a），f（b），f（c）都能构成一个三角形的三边长可知只需当x∈[0，1]时，

f(x) min＞0 2f(x) min＞f(x) max

，然后讨论m，求出满足条件的m的值即可．

解答：解：由题意当x∈[0，1]时，

f(x) min＞0 2f(x) min＞f(x) max

；
当m≤0时，

f(x)min=f(0)=1＞0 2f(x)min=2＞f(x)max=f(1)=2-2m⇒m＞0

不存在；
当m≥1时，

f(x)min=f(1)=2-2m＞0 2f(x)min=4-4m＞f(x)max=f(0)=1

⇒m＜

3

4

，不存在；
当0＜m≤

1

2

时，

f(x)min=f(m)=1-m2＞0 2f(x)min=2-2m2＞f(x)max=f(1)=2-2m

⇒0＜m＜1，
所以这时0＜m≤

1

2

；
当

1

2

＜m＜1时，

f(x)min=f(m)=1-m2＞0 2f(x)min=2-2m2＞f(x)max=f(0)=1

⇒-

2

2

＜m＜

2

2

，
所以这时

1

2

＜m＜

2

2

；综上所述0＜m＜

2

2

．
故答案为：0＜m＜

2

2

内的任一实数．

点评：本题主要考查了函数最值的应用，以及构成三角形的条件，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．