Question

已知椭圆．
（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
（3）过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设弦的两端点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），中点为R（x，y），则，，两式相减得=-，由此能求出斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．
（2）设直线方程为y-1=k（x-2），设两交点分别为（x₃，y₃），（x₄，y₄），则，，两式相减得
，故+，令中点坐标为（x，y），则x+2y•=0，由此能求出l被截得的弦的中点轨迹方程．
（3）设过点P（）的直线与交于E（x₅，y₅），F（x₆，y₆），由P（）是EF的中点，知x₅+x₆=1，y₅+y₆=1，把E（x₅，y₅），F（x₆，y₆）代入与，得k==-，由此能求出过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程．
解答：解：（1）设弦的两端点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） 的中点为R（x，y），
则，，
两式相减并整理可得，①
将代入式①，得所求的轨迹方程为x+4y=0（椭圆内部分）．
（2）可设直线方程为y-1=k（x-2）（k≠0，否则与椭圆相切），
设两交点分别为（x₃，y₃），（x₄，y₄），
则，，两式相减得
，
显然x₃≠x₄（两点不重合），
故+，
令中点坐标为（x，y），
则x+2y•=0，
又（x，y）在直线上，所以，
显然，
故x+2y•k=x+2y=0，即所求轨迹方程为x²+2y²-2x-2y=0（夹在椭圆内的部分）．
（3）设过点P（）的直线与交于E（x₅，y₅），F（x₆，y₆），
∵P（）是EF的中点，
∴x₅+x₆=1，y₅+y₆=1，
把E（x₅，y₅），F（x₆，y₆）代入与，
得，
∴（x₅+x₆）（x₅-x₆）+2（y₅+y₆）（y₅-y₆）=0，
∴（x₅-x₆）+2（y₅-y₆）=0，
∴k==-，
∴过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程：，
即2x+4y-3=0．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．