Question

已知双曲线C的中心为坐标原点O，右顶点为A(1，0)，C为双曲线C的右准线与x轴的交点，P、Q为双曲线C上不同两点，且满足≠0,=0．

(Ⅰ)求双曲线C的方程；

(Ⅱ)若直线PQ按向量a=(0，1)平移后所得直线与双曲线C交于不同两点M、N，当1＜S_ΔOMN≤2时，求的取值范围．

Answer 1

解：(1)设双曲线C的方程为  (a＞0,b＞0)，

∵右顶点为A(1，0)，

∴a=1，∴(其中)，

∴G点坐标为( ，0).

设P(x₁,y₁)，Q(x₂，y₂)，则

=(x₁-,y₁),=(x₂-,y₂),

=(1-,0),

∵

∴即∴

又P、Q在双曲线C上，

（x₁+x₂）(x₁-x₂)=

∵，∴x₁≠x₂,将（2）代入（3）得，x₁+x₂=0,

代入（1）得0=，∴c=3,∴b²=c²-a²=8.

∴双曲线C的方程为：x²-=1.

(Ⅱ)设直线PQ的斜率为k，由(Ⅰ)知直线PQ过原点，

∴直线PQ的方程为：y=kx，代入C：x²-=1并整理得(8-k²)x²=8，∴8-k²＞0，∴k²＜8，

直线MN是由直线PQ按a=(0，1)平移得到，故可设直线MN的方程为：y=kx+1，代入C：x²-=1消去y并整理，得(8-k²)x²-2kx-9=0，

由△=4k²+36(8-k²)=288-32k²＞0，解得k²＜9，

故知在k²＜8的条件下，直线MN与双曲线总有两个交点.

设M(x₃，y₃)，N(x₄，y₄)，则

,

∵S_△OMN=

∴

解此不等式得4-＜k²≤7-或7+≤k²＜4+.

又∵0≤k²＜8，∴0≤k²≤7-

∵y₃=kx₃+1，y₄=kx₄+1，

∴y₃y₄=(kx₃+1)(kx₄+1)=k²x₃x₄+k(x₃+x₄)+1，

∴=(x₃，y₃)·(x₄，y₄)=x₃x₄+y₃y₄

=(1+k²)x₃x₄+k(x₃+x₄)+1

,

∵8+是k²的单调递减函数，

∴.