Question

设A(x1，y1)，B(4，

9

5

)，C(x2，y2)是右焦点为F的椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上三个不同的点，则“|AF|，|BF|，|CF|成等差数列”是“x₁+x₂=8”的（　　）

• A、充要条件
• B、必要不充分条件
• C、充分不必要条件
• D、既非充分也非必要

Answer 1

分析：先根据椭圆方程求得右准线方程，进而分别求得A、B、C到右准线的距离进而根据椭圆的第二定义用e和点到准线的距离表示出|AF|，|BF|，|CF|，进而可知丨AF丨，丨BF丨，丨CF丨成等差数列等价于2ed₂=ed₁+ed₃，2d₂=d₁+d₃，即：x₁+x₂=8推断出结论．

解答：解：右准线为：x=

a2

c

=

25

4

设A、B、C到右准线的距离为d₁、d₂、d₃
d₁=

25

4

-x₁，d₂=

9

4

，d₃=

25

4

-x₂
由椭圆的第二定义（点到定点的距离等于到定直线距离的e倍，定点为焦点，定直线为准线）
丨AF丨=ed₁、丨BF丨=ed₂、丨CF丨=ed₃
丨AF丨，丨BF丨，丨CF丨成等差数列等价于2ed₂=ed₁+ed₃，2d₂=d₁+d₃，即：x₁+x₂=8
∴“丨AF丨，丨BF丨，丨CF丨成等差数列”是“x₁+x₂=8的充要条件．

点评：这道题目综合考查了解析几何中椭圆的性质（人教版选修2-1第三章）与简易逻辑中的命题的基本关系（人教版选修2-1第一章），可以认为这是一道以简易逻辑为背景的解析几何题目．