Question

．（本题满分12分）

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，是椭圆+=(a＞b＞0)上的两点，已知向量m=(，)，n=(，)，若m·n=0且椭圆的离心率e=，短轴长为2，O为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：(Ⅰ)2b=2.b=1，e=

椭圆的方程为                       ………………………4分

(Ⅱ)(1)当直线AB斜率不存时，即x₁=x₂，y_{1= -}y₂，由＝0

                     ………………………6分

又A(x₁,y₁)在椭圆上，所以

S＝

所以三角形的面积为定值                     … …………7分

(2)当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b

得到x₁+ x₁=

                             ………………………8分

代入整理得：

2b²- k² =4                                ………………………10分

所以三角形的面积为定值.                 ……………………12分

 

【解析】略