Question

14．已知数列{a_n}中，a₁=-2，a₂=3且$\frac{{a}_{n+2}-3{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-3{a}_{n}}$=3，则数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{13+（6n-13）•{3}^{n}}{4}$．

Answer 1

分析 根据数列的通项公式求出数列的通项公式，再根据错位相减法求和即可，

解答 解：∵a₁=-2，a₂=3且$\frac{{a}_{n+2}-3{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-3{a}_{n}}$=3，
∴$\frac{{a}_{3}-3{a}_{2}}{{a}_{2}-3{a}_{1}}$=3，$\frac{{a}_{4}-3{a}_{3}}{{a}_{3}-3{a}_{2}}$=3，$\frac{{a}_{5}-3{a}_{4}}{{a}_{4}-3{a}_{3}}$=3，…，$\frac{{a}_{n+2}-3{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-3{a}_{n}}$=3，
累乘可得$\frac{{a}_{n+2}-3{a}_{n+1}}{{a}_{2}-3{a}_{1}}$=3ⁿ，
∵a₂-3a₁=3-3×（-2）=9，
∴a_n+2-3a_n+1=3ⁿ⁺²，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{3}^{n+2}}$-$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$=1，
即数列{$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$}为等差数列，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{3}$+n-1=n-$\frac{2}{3}$，
∴a_n+1=（n-$\frac{2}{3}$）•3ⁿ⁺¹，
∵a₁=-2也满足上式，
∴a_n=（n-$\frac{5}{3}$）•3ⁿ=（3n-5）•3^n-1，
∴S_n=-2•3⁰+1•3¹+4•3²+…+（3n-5）•3^n-1，
∴3S_n=-2•3¹+1•3²+4•3³+…+（3n-5）•3ⁿ，
∴-2S_n=-2+3（3¹+3²+3³+…+3^n-1）-（3n-5）•3ⁿ=-2+$\frac{9×（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（3n-5）•3ⁿ，
∴S_n=$\frac{13+（6n-13）•{3}^{n}}{4}$，
故答案为：S_n=$\frac{13+（6n-13）•{3}^{n}}{4}$

点评 本题考查了数列的递推公式求通项公式和错位想减法求前n项和，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．