Question

椭圆C₁：与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的一个交点为M．抛物线C₂在点M处的切线过椭圆C₁的右焦点F．
（1）若M，求C₁和C₂的标准方程；
（II）若b=1，求p关于a的函数表达式p=f（a）．

Answer 1

【答案】分析：（1）将点M代入C_2，可求C_{2的方程；利用}抛物线C₂在点M处的切线过椭圆C₁的右焦点F，求C₁的标准方程；
（2）是（1）的一般情形，先设M，再求出C₂在点M处的切线方程，从而构建p关于a的函数表达式，注意a的取值范围．
解答：解：（1）把M代入C₂：x²=2py（p＞0）得，故C₂：…（2分）
由得，从而C₂在点M处的切线方程为…（4分）
令y=0有x=1，F（1，0），…（5分）
又M在椭圆C₁上
所以，解得a²=5，b²=4，故C₁：…（7分）
（2）设M，由得，
从而C₂在点M处的切线方程为…（9分）
设F（c，0），代入上式得x=2c，
因为，所以…（11分）
又x²=2py，所以=，…（13分）
结合a＞b知，所以p=f（a）=（）．…（14分）
点评：函数与方程思想是研究已知量和未知量之间的等量关系，通过设未知数，建立各变量之间的固有函数关系，列出方程（或方程组等）综合解决问题．