Question

已知抛物线C：y²=4x，一动椭圆C₁的左焦点及左准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合.

(1)点P在椭圆C₁的短轴的一个端点B与焦点F的连线上，且，求点P的轨迹C₂的方程；

(2)若直线x+y+m=0与点P的轨迹C₂交于两点M、N，问是否存在实数m，使OM⊥ON成立.若存在，求出m的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

解：(1)由抛物线方程y²=4x得焦点F(1，0)，准线方程为x=-1，设椭圆中心为O′(t,0)，则其半焦距为c=t-1，又左准线方程为x=-1，则t+1=，∴a²=(t+1)c=t²-1，

∴b²=a²-c²=(t²-1)-(t-1)²=2t-2.可取椭圆短轴上一个端点B(t,)，

其中t＞1,设P点坐标为(x,y),, ∴λ==2.

∴

即

消去t得y²=(x-1),x＞1，即为点P的轨迹C₂的方程.                             

(2)由3y²+2y+2m+2=0.此方程应有两个不相等的非零实根，

则解得

即m＜且m≠-1.                                                         

设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂).假设存在实数m，使,则x₁x₂+y₁y₂=0,

又x₁=-y₁-m,x₂=-y₂-m，则有2y₁y₂+m(y₁+y₂)+m²=0.

而y₁+y₂=,y₁y₂=，代入上式得：m+m²=0,即3m²+2m+4=0,

此方程无实数解，故不存在m使OM⊥ON.