Question

3．已知函数f（x）=xlnx+（2a-1）x-ax²-a+1，
（1）若$a=\frac{1}{2}$，求f（x）的单调区间；
（2）求证：$a≥\frac{1}{2}$时，若x∈[1，+∞），则f（x）≤0．

Answer 1

分析 （1）可求导数，f′（x）=lnx-2a（x-1），进而求出a=$\frac{1}{2}$时的导数，为判断导数符号需进一步求导，这样即可判断导数f′（x）的符号，从而求出f（x）的单调区间；
（2）可令f′（x）=0，从而得到lnx=2a（x-1），容易得出函数lnx在x=1处的切线为y=x-1，根据上面可以得出a=$\frac{1}{2}$时，可得出f（x）≤0，而a$＞\frac{1}{2}$时，数形结合即可得出f（x）≤0，这样即证出结论．

解答 解：（1）f′（x）=lnx-2a（x-1）
当$a=\frac{1}{2}$时，f′（x）=lnx-（x-1）
令g（x）=lnx-（x-1），则${g^'}（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$．
x∈（0，1）时g′（x）＞0；x∈（1，+∞）时g′（x）＜0
∴g（x）≤g（1）=0，即f′（x）≤0（只在x=1处取等号）
∴f（x）的单减区间是（0，+∞）；
（2）f′（x）=lnx-2a（x-1）
令f′（x）=0，则lnx=2a（x-1）且函数lnx在x=1处的切线为y=x-1
由（1）知，$a=\frac{1}{2}$时，f（x）在[1，+∞）上单减且f（1）=0
∴f（x）≤0，合题意
当a＞$\frac{1}{2}$时，数形结合知，f（x）在[1，+∞）上仍单减且f（1）=0
∴f（x）≤f（1）=0
综上：若$a≥\frac{1}{2}$，且x∈[1，+∞），恒有f（x）≤0．

点评 考查基本初等函数导数的计算公式，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及根据导数求函数最值的方法和过程，减函数定义的运用．