Question

已知过抛物线y²＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x₁<x₂)两点，且|AB|＝9.

(1)求该抛物线的方程；

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值.

Answer 1

(1)抛物线y²＝2px(p>0)的焦点坐标为(，0)，所以直线AB过点(，0)，斜率为2，所以直线AB的方程是y＝2(x－)，与抛物线方程y²＝2px联立，消去y整理得：4x²－5px＋p²＝0，所以x₁＋x₂＝，由抛物线的定义得：|AB|＝x₁＋x₂＋p＝9，解得p＝4，因此抛物线方程为：y²＝8x.

(2)由p＝4及4x²－5px＋p²＝0得x²－5x＋4＝0，解得：x₁＝1，x₂＝4，y₁＝－2，y₂＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)，设C(x₃，y₃)，则有＝(x₃，y₃)，＋λ＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(1＋4λ，－2＋4λ)，又因为＝＋λ，所以(x₃，y₃)＝(1＋4λ，－2＋4λ)，

即x₃＝1＋4λ，y₃＝－2＋4λ，

又因为y＝8x₃，即(－2＋4λ)²＝8(1＋4λ)，

即(2λ－1)²＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.