Question

设an=logn+1(n+2)，(n∈N*)，定义使a₁a₂a₃…a_k为整数的数k（k∈N^*）叫做数列{a_n}的企盼数，则区间[1，2009]内的所有企盼数的和为

2026

．

Answer 1

分析：先利用换底公式与叠乘法把a₁•a₂•a₃…a_k化为log₂（k+2），再根据a₁•a₂•a₃…a_k为整数，可得k=2ⁿ-2，进而由等比数列前n项和公式可得结论．

解答：解：∵a_n=log_n+1（n+2）=

log2(n+2)

log2(n+1)

∴a₁•a₂•a₃…a_k=

log23

log22

×

log24

log23

…×

log2(k+2)

log2(k+1)

=log₂（k+2），
又∵a₁•a₂•a₃…a_k为整数
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-2．
∴k∈[1，2009]内所有的企盼数的和M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）=

4(1-29)

1-2

-2×9=2026
故答案为：2026．

点评：本题考查新定义，考查换底公式、叠乘法及等比数列前n项和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．