Question

已知a＞0，函数f（x）=2asin(2x-

π

6

)+2a+b，x∈R；
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，-5≤f（x）≤1，求常数a，b的值？

Answer 1

分析：（1）根据正弦函数的单调递增区间是[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈z，利用整体代入解不等式求得函数的单调增区间；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，则-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1，利用-5≤f（x）≤1，可求得常数a，b的值．

解答：解（1）令：2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得：kπ-

π

6

≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

6

，

π

3

+kπ]，k∈Z；
（2）∵0≤x≤

π

2

⇒-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1，
∵a＞0，-5≤f（x）≤1，
∴

2a+2a+b=1 -a+2a+b=-5

⇒

a=2 b=-7

．

点评：本题考查了正弦函数的单调区间，考查了y=Asin（ωx+φ）的单调性及最值，解答本题的关键是利用角的范围求得f（x）=2asin(2x-

π

6

)+2a+b的最大值域最小值．