Question

（Ⅰ）设x≥1，y≥1，证明x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy；
（Ⅱ）1≤a≤b≤c，证明log_ab+log_bc+log_ca≤log_ba+log_cb+log_ac．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，首先对原不等式进行变形有x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy?xy（x+y）+1≤x+y+（xy）²；再用做差法，让右式-左式，通过变形、整理化简可得右式-左式=（xy-1）（x-1）（y-1），又由题意中x≥1，y≥1，判断可得右式-左式≥0，从而不等式得到证明．
（Ⅱ）首先换元，设log_ab=x，log_bc=y，由换底公式可得：log_ba=

1

x

，log_cb=

1

y

，log_ac=

1

xy

，log_ac=xy，将其代入要求证明的不等式可得：x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy；又有log_ab=x≥1，log_bc=y≥1，借助（Ⅰ）的结论，可得证明．

解答：证明：（Ⅰ）由于x≥1，y≥1；则x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy?xy（x+y）+1≤x+y+（xy）²；
用作差法，右式-左式=（x+y+（xy）²）-（xy（x+y）+1）
=（（xy）²-1）-（xy（x+y）-（x+y））
=（xy+1）（xy-1）-（x+y）（xy-1）
=（xy-1）（xy-x-y+1）
=（xy-1）（x-1）（y-1）；
又由x≥1，y≥1，则xy≥1；即右式-左式≥0，从而不等式得到证明．
（Ⅱ）设log_ab=x，log_bc=y，
由换底公式可得：log_ba=

1

x

，log_cb=

1

y

，log_ca=

1

xy

，log_ac=xy，
于是要证明的不等式可转化为x+y+

1

xy

≤

1

x

+

1

y

+xy；
其中log_ab=x≥1，log_bc=y≥1，
由（Ⅰ）的结论可得，要证明的不等式成立．

点评：本题考查不等式的证明，要掌握不等式证明常见的方法，如做差法、放缩法；其次注意（Ⅱ）证明在变形后用到（Ⅰ）的结论，这个高考命题考查转化思想的一个方向．