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    设x≥1，y≥1，证明：x+y+
    1
    xy
    ≤
    1
    x
    +
    1
    y
    +xy    ．
    证明：要证x+y+
    1
    xy
    ≤
    1
    x
    +
    1
    y
    +xy    ，
    只需证明
    1
    xy
    -
    1
    x
    -
    1
    y
    ≤xy-x-y    ，
    只需证明(1-
    1
    x
    )(1-
    1
    y
    )≤(1-x)(1-y)    =（x-1）（y-1），
    只需证明1-
    1
    x
    ≤x-1；1-
    1
    y
    ≤y-1，
    即证x+
    1
    x
    ≥2，y+
    1
    y
    ≥2，（x≥1，y≥1）这是均值不等式，
    所以x≥1，y≥1，x+y+
    1
    xy
    ≤
    1
    x
    +
    1
    y
    +xy    得证．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•湖北模拟）设A、B分别是x轴，y轴上的动点，P在直线AB上，且
    AP
    =
    		3
    2
    PB
    ，|
    AB
    |=2+
    		3
    ．
    （1）求点P的轨迹E的方程；
    （2）已知E上定点K（-2，0）及动点M、N满足
    KM
    •
    KN
    =0，试证：直线MN必过x轴上的定点．

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    科目：高中数学 来源：数学教研室 题型：044

    设a,b,x,y∈R,且a2+b2=1,x2+y2=1, 试证:|ax+by|≤1.

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年山东省高三下学期模拟预测理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    在四棱锥中，平面，底面为矩形，.

    （Ⅰ）当时，求证：；

    （Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.

    【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时，底面ABCD为正方形，

    又因为,………………2分

    又，得证。

    第二问，建立空间直角坐标系，则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

    设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》

    要使，只要

    所以，即………6分

    由此可知时，存在点Q使得

    当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得

    由此知道a=2,  设平面POQ的法向量为

    ,所以    平面PAD的法向量

    则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

    因此二面角A-PD-Q的余弦值为

    解：(Ⅰ)当时，底面ABCD为正方形，

    又因为,又………………3分

    (Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示，

    则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

    设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

    所以，即………6分

    由此可知时，存在点Q使得

    当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得由此知道a=2,

    设平面POQ的法向量为

    ,所以    平面PAD的法向量

    则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

    因此二面角A-PD-Q的余弦值为

     

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年湖北省“黄冈中学、黄石二中、华师一附中、荆州中学、孝感高中、襄樊四中、襄樊五中、鄂南高中”八校高三第二次联考数学试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    设A、B分别是x轴，y轴上的动点，P在直线AB上，且=，||=2+．
    （1）求点P的轨迹E的方程；
    （2）已知E上定点K（-2，0）及动点M、N满足•=0，试证：直线MN必过x轴上的定点．

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