Question

一袋中有6个黑球，4个白球．
（1）依次取出3个球，不放回，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率；
（2）有放回地依次取出3球，已知第一次取的是白球，求第三次取到黑球的概率；
（3）有放回地依次取出3球，求取到白球个数X的分布列、期望和方差．

Answer 1

分析：（1）由题意知在第一次取出的是白球时，求第三次取到黑球的概率，这是一个条件概率，先做出第一次取到白球的结果数，再做出第一次取到白球且第三次取到黑球的结果数，根据条件概率的公式得到结果．
（2）有放回地依次取出3球，第一次取的是白球，第三次取到黑球，这两个事件没有关系，只要做出从10个球中摸一个球，摸到黑球的概率就可以．
（3）取到白球个数X，由题意知X的可能取值是0，1，2，3，做出一次取到白球的概率，利用独立重复试验的概率公式写出变量对应的概率，写出分布列，根据数学期望和方差的公式进行求解．

解答：解：（1）设A=“第一次取到白球”，
B=“第二次取到白球”，C=“第三次取到白球”，
则在A发生的条件下，袋中只剩6个黑球和3个白球，
则P（

.

C

|A）=

n(A  . C )

n(A)

=

C 1 4 (C 1 3 C 1 6 +A 2 3 )

C 1 4 A 2 9

=

2

3

（2）∵每次取之前袋中球的情况不变，
∴n次取球的结果互不影响．
∴P（

.

C

）=

6

10

=

3

5

．
（3）取到白球个数X，由题意知X的可能取值是0，1，2，3
设“摸一次球，摸到白球”为事件D，
则P（D）=

4

10

=

2

5

，P（

.

D

）=

3

5

．
∵这三次摸球互不影响，
∴P（X=0）=C⁰₃（

3

5

）³，P（X=1）=C¹₃（

2

5

）（

3

5

）²，
P（X=2）=C²₃（

2

5

）²（

3

5

），P（X=3）=C³₃（

2

5

）³．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	27 125	54 125	36 125	8 125

E（X）=0×

27

125

+1×

54

125

+2×

36

125

+3×

8

125

=

6

5

；
D（X）=

27

125

×（0-

6

5

）²+

54

125

×（1-

6

5

）²+

36

125

×（2-

6

5

）²+

8

125

×（3-

6

5

）²=18．

点评：本题考查条件概率，考查独立重复试验概率公式，考查离散型随机变量的分布列，本题的关键是理解条件中的有放回抽样和不放回抽样，注意认真对待前两问．