Question

有下列命题：
①已知函数f（x）为连续可导函数，若f（x）为奇函数，则f（x）的导函数f′（x）为偶函数；
②若函数f（x）=x²，则f′（2x）=[f（2x）]′；
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-5）（x-6），则g′（6）=120；
④若三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值”的充要条件．
其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：导数的综合应用

分析：①利用奇偶函数的性质和复合函数的求导法则即可得出；
②利用复合函数的求导法则即可得出；
③利用导数的运算法则即可得出；
④利用导数的运算法则可得f′（x）=3ax²+2bx+c．函数三次函数f（x）有极值?f′（x）=0有两个不相等的实数根?△＞0即b²＞3ac．而a+b+c=0⇒b²-3ac＞0，反之不成立．即可判断出．

解答： 解：①∵函数f（x）为连续可导函数，f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），两边求导可得-f′（-x）=-f′（x），
∴f′（-x）=f′（x），∴f（x）的导函数f′（x）为偶函数；
因此正确．
②函数f（x）=x²，则f′（2x）=2[f（2x）]′，因此②不正确；
③∵函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-5）（x-6），
∴g′（x）=（x-2）…（x-5）（x-6）+（x-1）（x-3）…（x-6）+…+（x-1）（x-2）…（x-5），
则g′（6）=0+（6-1）×（6-2）×…×（6-5）=120，因此正确；
④三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，f′（x）=3ax²+2bx+c，
若函数三次函数f（x）有极值，则f′（x）=0有两个不相等的实数根，
∴△=4b²-12ac＞0，化为b²＞3ac．
当a+b+c=0时，b²-3ac=（a+c）²-3ac=(a-

1

2

c)2+

3

4

c2＞0（否则a=c=0，与题意矛盾）．反之不成立．
因此“a+b+c=0”是“f（x）有极值”的充分但不必要条件．
因此④不正确．
综上可知：只有①③正确．
故答案为：①③．

点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程的判别式与实数根的关系、充分必要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．