Question

如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．

(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；

(2)若E为PB的中点，棱PC(不包括端点)上是否存在点F，使得DF∥平面AEC，若存在，找出点F的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，

又AC⊂平面AEC，

∴平面AEC⊥平面PDB.

(2)不存在这样的点．

假设存在点F，使DF∥平面AEC.

设BD与AC交于点O，则O是BD的中点，

由于点E是PB的中点，所以PD∥EO，

又EO⊂平面AEC.PD⊄平面AEC，故PD∥平面AEC.

根据假设DF∥平面AEC.

因为DF⊂平面PDC，PD⊂平面PDC，PD∩DF＝D，

所以平面PDC∥平面AEC，但平面PDC与平面AEC有公共点C，两平面相交，矛盾，故假设不成立，即不存在这样的点F，使得DF∥平面AEC.