Question

1．已知f（x）=1-xlnx，g（x）=-x²+2ax（a＞0）．
（1）求函数y=f（x）的单调区间．
（2）若对任意的x₂∈[0，1]，均存在x₁∈[0，+∞），使得f（x₁）＞g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，利用导函数符号判断函数单调区间
（2）有题意知，只需使f（x）的最大值大于g（x）的区间最大值即可．

解答 （1）f′（x）=-（lnx+1），
令f′（x）＞0得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，∴f（x）的单调递增区间是（0，$\frac{1}{e}$）；
令f′（x）＜0得：x＞$\frac{1}{e}$，∴f（x）的单调递减区间是（ $\frac{1}{e}$，+∞）．
（2）g（x）=-x（x-2a），
当a≤1时，g（x）_max=g（a）=a²；
由（1）知f（x）_max=f（$\frac{1}{e}$）=1+$\frac{1}{e}$，
∴1+$\frac{1}{e}$＞a²显然成立，
当a＞1时，g（x）_max=g（1）=-1+2a；
1+$\frac{1}{e}$＞-1+2a，
得a＜$\frac{2e+1}{2e}$，
故a的范围为0＜a＜$\frac{2e+1}{2e}$．

点评 考查导函数利用，对存在性的理解．