Question

13．已知函数f（x）=$\frac{a}{lo{g}_{a}x}$（a＞1）的图象沿着向量$\overrightarrow{a}$=（-2，1）平移后，若在[2，6]中的最大值与最小值的差为$\frac{2a}{3}$，则a的值为16．

Answer 1

分析 由题意求出平移后图象所对应的函数解析式，然后利用函数的单调性求出在区间[2，6]中的最大值与最小值，再由最大值与最小值的差为$\frac{2a}{3}$列式求得a的值．

解答 解：把函数f（x）=$\frac{a}{lo{g}_{a}x}$（a＞1）的图象沿着向量$\overrightarrow{a}$=（-2，1）平移后，所得函数解析式为，$y=\frac{a}{lo{g}_{a}（x+2）}+1$．
∵在[2，6]上，函数g（x）=log_a（x+2）为增函数，且log_a（x+2）＞0，
∴$y=\frac{a}{lo{g}_{a}（x+2）}+1$ 在[2，6]上为减函数，
则${y}_{max}=\frac{a}{lo{g}_{a}4}+1，{y}_{min}=\frac{a}{lo{g}_{a}8}+1$，
由题意可得：$\frac{a}{lo{g}_{a}4}+1-\frac{a}{lo{g}_{a}8}-1=\frac{2a}{3}$，即$lo{g}_{4}a-lo{g}_{8}a=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{6}lo{g}_{2}a=\frac{2}{3}$，解得：a=16．
故答案为：16．

点评 本题考查平面向量坐标表示的应用，考查了函数图象的平移，训练了利用函数的单调性求函数的最值，考查了对数方程的解法，是基础题．