Question

4．已知函数f（x）=|2x+1|-|x-a|，g（x）=3x-2．
（1）当a=2时，求不等式f（x）＞g（x）的解集；
（2）设a＜-$\frac{1}{2}$，存在x∈[a，-$\frac{1}{2}$]使f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式即|2x+1|-|x-2|＞3x-2，把它转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意数形结合可得f（x）在[a，-$\frac{1}{2}$]上的最大值f（a），再根据f（a）≥g（a），求得a的范围．

解答 解：（1）当a=2时，不等式f（x）＞g（x），即|2x+1|-|x-2|＞3x-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1-（2-x）＞3x-2}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x＜2}\\{2x+1-（2-x）＞3x-2}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{2x+1-（x-2）＞3x-2}\end{array}\right.$ ③．
解求得x＜-$\frac{1}{2}$，解求得-$\frac{1}{2}$≤x＜2，解求得2≤x＜$\frac{5}{2}$．
综上可得，不等式f（x）＞g（x）的解集为 {x|x＜$\frac{5}{2}$}．
（2）设a＜-$\frac{1}{2}$，存在x∈[a，-$\frac{1}{2}$]使f（x）≥g（x）成立，
画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-a-1，x＜a}\\{-3x-1+a，a≤x＜-\frac{1}{2}}\\{x+1+a，x≥-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$、g（x）=3x-2的图象，
如图所示，
故f（x）在[a，-$\frac{1}{2}$]上的最大值f（a），
由题意可得f（a）≥g（a），即-2a-1≥3a-2，求得a≤$\frac{1}{5}$．

点评 本题主要考查带有与绝对值的函数，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．