Question

14．当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]时，函数y=3-sinx-2cos²x的最大值是2．

Answer 1

分析 由题意可得sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，利用同角平方关系对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质可求函数的最大值．

解答 解：∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，∴sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
变形可得y=3-sinx-2cos²x
=3-sinx-2（1-sin²x）
=2sin²x-sinx+1
=2（sinx-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{7}{8}$，
∴由二次函数可知当sinx=1或-$\frac{1}{2}$时，y取最大值2，
故答案为：2．

点评 本题考查正三角函数的最值，涉及配方法和二次函数的值域，属基础题．