Question

4．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，试用$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$表示△ABC的面积．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$cosA，可得cosA=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$，利用S_△ABC=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$sinA即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$cosA，
∴cosA=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$，
sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\sqrt{1-（\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}）^{2}}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$sinA=$\frac{1}{2}\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}-（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）^{2}}$．

点评 本题考查了向量的夹角公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．