Question

12．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=61．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值；
（2）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ；
（2）求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的值．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质即可得出；
（2）利用向量夹角公式即可得出；
（3）利用数量积运算性质即可得出．

解答 解：（1）∵（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=61，∴61=$4{\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-$3{\overrightarrow{b}}^{2}$=$4×{4}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-3×3²，化为$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=6．
（2）$cosθ=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{6}{4×3}$=$\frac{1}{2}$，解得θ=60°．
（3）|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}-2×6}$=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．